ജ്യോമെട്രിയിലെ ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായ സിദ്ധാന്തം: ഏതൊരു മട്ടത്രികോണത്തിലും a² + b² = c² ആണ്. മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങൾ അറിയാമെങ്കിൽ ഏത് വശവും കണ്ടെത്തുക.
Hypotenuse c
5
a² + b² = c²
പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം (ഏതൊരു മട്ടത്രികോണത്തിനും a² + b² = c²) ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏറ്റവും കൂടുതൽ പ്രയോഗിക്കുന്ന ഒറ്റ ഫോർമുലയായിരിക്കാം - നിർമ്മാണം, നാവിഗേഷൻ, കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സ്, ഭൗതികശാസ്ത്രം, സർവേയിംഗ്, കാർപെൻട്രി, ദൈനംദിന അളവെടുപ്പ് എന്നിവയിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു. പൈതഗോറസിന്റെ ഗ്രീക്ക് സ്കൂൾ ഇത് ഔപചാരികമാക്കുന്നതിന് നൂറ്റാണ്ടുകൾക്ക് മുമ്പ്, ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രം ഈ ബന്ധം ബൗധായന ശുൽബ സൂത്രത്തിൽ (ഏകദേശം ക്രി.മു. 800) രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ടിവി സ്ക്രീനിന്റെ ഡയഗണൽ കണക്കാക്കുകയാണെങ്കിലും, ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പൂന്തോട്ടത്തിലൂടെയുള്ള ഏറ്റവും കുറുകിയ പാത ആയാലും, ഒരു മേൽക്കൂര റാഫ്റ്ററിന്റെ നീളം ആയാലും, ചെറിയ ദൂരങ്ങളിൽ GPS കോർഡിനേറ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം ആയാലും, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തമാണ് അതിന്റെ അടിസ്ഥാന ഗണിതം.
ഈ കാൽക്കുലേറ്റർ രണ്ട് ദിശയിലും പ്രവർത്തിക്കുന്നു: രണ്ട് കാലുകൾ (ലംബമായ വശങ്ങൾ) നൽകിയാൽ, hypotenuse (ഏറ്റവും നീളം കൂടിയ വശം) കണ്ടെത്തുക. hypotenuse-ഉം ഒരു കാലും നൽകിയാൽ, മറ്റ് കാൽ കണ്ടെത്തുക. ഇന്ത്യയിലെ 7-10 ക്ലാസ് ഗണിതശാസ്ത്രം ഈ ഫോർമുലയെ വളരെയധികം ആശ്രയിക്കുന്നു - ക്ലാസ് 7 ഇത് പരിചയപ്പെടുത്തുന്നു, ക്ലാസ് 9 ഇത് ജ്യോമെട്രിക്കലായി തെളിയിക്കുന്നു, ക്ലാസ് 10 ബോർഡുകൾ പതിവായി പ്രയോഗങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു. JEE/NEET ആസ്പിറന്റുകൾ ഇത് കോർഡിനേറ്റ് ജ്യോമെട്രിയിൽ (ദൂര ഫോർമുല കോർഡിനേറ്റ് വ്യത്യാസങ്ങളിൽ പ്രയോഗിച്ച പൈതഗോറസ് മാത്രമാണ്), 3D ജ്യോമെട്രി, വെക്ടറുകൾ, ഫോഴ്സ് ഘടകങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്ന ഭൗതികശാസ്ത്ര പ്രശ്നങ്ങളിൽ നേരിടുന്നു.
ഏത് വശമാണ് അജ്ഞാതം എന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കുക - hypotenuse അല്ലെങ്കിൽ ഒരു leg.
മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങൾ നൽകുക.
നഷ്ടപ്പെട്ട വശം വായിക്കുക.
രണ്ട് കാലുകൾ (legs) അറിയാമെങ്കിൽ, hypotenuse = √(a² + b²). hypotenuse-ഉം ഒരു കാലും അറിയാമെങ്കിൽ, മറ്റ് കാൽ = √(c² − leg²). hypotenuse എപ്പോഴും ഏറ്റവും നീളം കൂടിയ വശമായിരിക്കും.
a² + b² = c²
സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രസ്താവന: ഏതൊരു മട്ടത്രികോണത്തിലും, hypotenuse-ന്റെ വർഗ്ഗം മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളുടെ വർഗ്ഗങ്ങളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്: a² + b² = c², ഇവിടെ c എന്നത് hypotenuse ആണ് (എപ്പോഴും മട്ടകോണിന് എതിർവശത്ത്, എപ്പോഴും ഏറ്റവും നീളം കൂടിയ വശം), a, b എന്നിവ രണ്ട് കാലുകളാണ് (മട്ടകോണം രൂപപ്പെടുത്തുന്ന ലംബമായ വശങ്ങൾ).
hypotenuse കണ്ടെത്തൽ: c = √(a² + b²). ഉദാഹരണം: കാലുകൾ 3, 4; hypotenuse = √(9+16) = √25 = 5. ഒരു കാൽ കണ്ടെത്തൽ: a = √(c² - b²). ഉദാഹരണം: hypotenuse 13, ഒരു കാൽ 5, മറ്റ് കാൽ = √(169-25) = √144 = 12. 3-4-5 ഉം 5-12-13 ഉം ആണ് ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായ രണ്ട് പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിളുകൾ - മൂന്ന് വശങ്ങളും പൂർണ്ണസംഖ്യകളായ ഇന്റിജർ പരിഹാരങ്ങൾ.
വ്യുൽക്രമവും സ്ഥിരീകരണവും: a² + b² = c² ആണെങ്കിൽ, c-ക്ക് എതിർവശത്തുള്ള ശീർഷത്തിൽ ത്രികോണം മട്ടകോണമാണ്. a² + b² > c² ആണെങ്കിൽ, ത്രികോണം അക്യൂട്ട് ആണ്. a² + b² < c² ആണെങ്കിൽ, അത് ഒബ്ട്യൂസ് ആണ്. അളന്ന വശങ്ങൾ മട്ടത്രികോണം രൂപപ്പെടുത്തുന്നുണ്ടോ എന്ന് സ്ഥിരീകരിക്കാൻ ഈ വ്യുൽക്രമം ഉപയോഗപ്രദമാണ് (3-4-5 റൂൾ ഉപയോഗിച്ച് 90° കോണുകൾ പരിശോധിക്കാൻ കാർപെന്റർമാർ സാധാരണയായി ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു). 3D വിപുലീകരണം: l, w, h എന്നീ അളവുകളുള്ള ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പെട്ടിയുടെ സ്പേസ് ഡയഗണൽ d = √(l² + w² + h²) ആണ് - പൈതഗോറസ് രണ്ടുതവണ പ്രയോഗിച്ചത്.
ചില സ്കെയിലിംഗിൽ വീതി:ഉയരം = 16:9. വീതി² + ഉയരം² = 32². വീതി = 16k, ഉയരം = 9k ആയിരിക്കുമ്പോൾ: (16k)² + (9k)² = 256k² + 81k² = 337k² = 1024. k = √(1024/337) ≈ 1.74. വീതി ≈ 27.9 ഇഞ്ച്; ഉയരം ≈ 15.7 ഇഞ്ച്.
ഒരു വശത്ത് 3 അടിയും മറുവശത്ത് 4 അടിയും അടയാളപ്പെടുത്തുക. അടയാളങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള ഡയഗണൽ കൃത്യമായി 5 അടി ആണെങ്കിൽ, കോണം ചതുരമാണ് (90°). പ്രൊട്രാക്ടറുകൾ ഇല്ലാതെ ഫൗണ്ടേഷൻ കോണുകൾ സ്ഥിരീകരിക്കാൻ ലോകമെമ്പാടുമുള്ള ബിൽഡർമാർ ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു.
പൈതഗോറസ് പ്രകാരം: ചുമർ_എത്തിച്ചേരൽ² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16. ചുമർ എത്തിച്ചേരൽ = 4മീ. സുരക്ഷാ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു - IS 3696 (ഏണി സുരക്ഷയ്ക്കുള്ള ഇന്ത്യൻ സ്റ്റാൻഡേർഡ്) 75° ചരിവ് കോണം (1:4 ചുവട്-ഉയരം അനുപാതം) ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.
ഇല്ല - മട്ടത്രികോണങ്ങൾക്ക് മാത്രം. മറ്റുള്ളവയ്ക്ക്, കോസൈൻ നിയമം ഉപയോഗിക്കുക: c² = a² + b² − 2ab·cos(C).
പൈതഗോറസിന് (~ക്രി.മു. 570) ഇതിന്റെ ക്രെഡിറ്റ് ലഭിക്കുന്നു, എന്നാൽ ബാബിലോണിയൻ, ഇന്ത്യൻ (ശുൽബ സൂത്രങ്ങൾ), ചൈനീസ് (ഷൗ ബി സുവാൻ ജിംഗ്) ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഈ ബന്ധം ഇതിനു മുമ്പേ അറിയപ്പെട്ടിരുന്നു.
ഒരു ടിവി / മോണിറ്ററിന്റെ ഡയഗണൽ കണക്കാക്കൽ, മൗണ്ടിംഗ് ബ്രാക്കറ്റുകൾ, ഒരു പരന്ന പ്രതലത്തിലെ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ഏറ്റവും കുറുകിയ ദൂരം കണ്ടെത്തൽ, ചെറിയ ദൂരങ്ങളിൽ GPS ദൂരം (തിരുത്തലുകളോടെ).
ഇത് ഒരു ത്രികോണം അല്ല, അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങളുടെ hypotenuse തെറ്റാണ്. hypotenuse കൃത്യമായി √(a²+b²) ന് തുല്യമായിരിക്കണം. c കൂടുതലാണെങ്കിൽ, വശങ്ങൾ ഒരു അടഞ്ഞ ത്രികോണം രൂപപ്പെടുത്തുന്നില്ല.
സിദ്ധാന്തം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന മൂന്ന് ഇന്റിജറുകളുടെ സെറ്റുകൾ: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17). ഉപകരണങ്ങൾ ഇല്ലാതെ കൃത്യമായ 90° കോണുകൾ അടയാളപ്പെടുത്താൻ കാർപെൻട്രിയിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പെട്ടിയുടെ ഡയഗണൽ d = √(l² + w² + h²) ആണ് - പൈതഗോറസ് രണ്ടുതവണ പ്രയോഗിച്ചത്.
From simple percentages to scientific notation, statistics, geometry and big-number arithmetic - every common math problem you'd reach for a calculator for, runs in your browser with no installs. The fraction calculator preserves exact rationals, the big-number calculator uses BigInt for hundreds of digits without precision loss, and the scientific calculator's expression evaluator is a hand-written shunting-yard parser (no eval) that supports trig, log, factorial and parentheses.
If you're a student, double-check your work without paying for a graphing calculator. If you're a professional, use these tools as a sanity check on spreadsheet formulas. Every result is shown alongside its formula and inputs, so the math is always auditable.
The പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം കാൽക്കുലേറ്റർ is part of the Math suite on Online Calculator Tools, alongside 6 related calculators. All tools share the same UI patterns, the same privacy-first rendering (nothing is sent to a server), and the same commitment to showing the formula and assumptions behind every result.
