Gere sequências aritméticas, geométricas e de Fibonacci. Veja os primeiros n termos, a soma da série e a fórmula do n-ésimo termo.
Last term aₙ
29
Sum Sₙ
155
Formula
aₙ = a + (n−1)d
= 2 + (n−1)·3
Sequence
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29
Sequências e séries são um tópico central da matemática do ensino médio na Índia (Class 10-11), com progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG) aparecendo em exames escolares e testes competitivos como JEE Main, JEE Advanced e NEET. Além dos estudos escolares, esses padrões aparecem constantemente na vida real: os aumentos salariais são aritméticos (₹5 lakh iniciais + ₹50.000 a cada ano), os juros compostos são geométricos (₹1 lakh × 1,08 a cada ano), os cronogramas de EMI são geométricos, o crescimento populacional é geométrico, e os números de Fibonacci aparecem na natureza (espirais de semente de girassol, escamas de pinha, pétalas de flores).
Esta calculadora gera os primeiros n termos e a soma cumulativa para três tipos de sequência: aritmética (diferença constante), geométrica (razão constante) e Fibonacci (cada termo é igual à soma dos dois anteriores). A fórmula do n-ésimo termo e da soma da série é exibida junto com o resultado para que os estudantes aprendam a matemática, não apenas obtenham respostas. Problemas de PA e PG são clássicos do JEE - soma dos primeiros n termos, encontrar termos ausentes, aplicar a desigualdade MA-MG e resolver problemas de enunciado, todos dependem de entender esses padrões profundamente.
Escolha um tipo de sequência: aritmética, geométrica ou Fibonacci.
Digite o primeiro termo e a diferença comum / razão (quando aplicável).
Escolha quantos termos gerar.
Veja a sequência completa e a soma.
A aritmética soma uma diferença constante a cada termo: a, a+d, a+2d, … A geométrica multiplica por uma razão constante: a, ar, ar², … A Fibonacci soma os dois termos anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, …
Arithmetic: aₙ = a + (n−1)d, Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d] Geometric: aₙ = a·r^(n−1), Sₙ = a(rⁿ−1)/(r−1) for r ≠ 1 Fibonacci: F(n) = F(n−1) + F(n−2)
Progressão Aritmética (PA): cada termo difere do anterior por uma constante 'd' (diferença comum). aₙ = a₁ + (n-1)d. Soma dos primeiros n termos: Sₙ = n/2 × [2a₁ + (n-1)d] = n/2 × (primeiro + último). A PA aparece em padrões de aumento salarial, intervalos de tempo igualmente espaçados, acúmulos de juros simples e problemas básicos de contagem.
Progressão Geométrica (PG): cada termo é igual ao anterior multiplicado pela constante 'r' (razão comum). aₙ = a₁ × r^(n-1). Soma: Sₙ = a₁ × (r^n - 1)/(r-1) para r ≠ 1. Soma da série infinita: S∞ = a₁ / (1-r) para |r| < 1 (converge). A PG é a matemática dos juros compostos, do decaimento exponencial, do crescimento populacional e da maioria dos processos naturais de crescimento/diminuição.
Sequência de Fibonacci: F(n) = F(n-1) + F(n-2) com F(0) = 0, F(1) = 1. Cada termo é a soma dos dois anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144... A razão F(n+1)/F(n) se aproxima da razão áurea φ = (1+√5)/2 ≈ 1,618 conforme n cresce. Os números de Fibonacci aparecem na filotaxia das plantas, em modelos de populações reprodutivas (o problema original dos coelhos de Fibonacci), nos metros de Pingala na prosódia sânscrita e na análise de gráficos financeiros (retrações de Fibonacci).
PA com a₁ = 6, d = 0,5 (lakh). a₁₀ = 6 + 9 × 0,5 = 10,5 lakh. Ganhos totais: S₁₀ = 10/2 × (6 + 10,5) = 82,5 lakh ao longo de 10 anos. Caminho de carreira clássico modelado por PA.
PG com a₁ = 1 lakh, r = 1,1. a₁₀ = 1 × 1,1⁹ = 2,358 lakh. Após 10 anos, o principal se capitaliza para 2,594 lakh (sendo a₁₀ o saldo de final do ano 10 na interpretação da razão).
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377. Observe a razão entre termos consecutivos se aproximando de φ: 377/233 ≈ 1,6180. Ilustração clássica da convergência da razão áurea.
A aritmética soma uma constante; a geométrica multiplica por uma constante. Salário com aumento anual fixo é aritmético. Juros compostos são geométricos.
Aproximadamente de forma exponencial com razão φ ≈ 1,618 (a razão áurea). F(50) já é superior a 12 bilhões, F(100) tem 21 dígitos.
Converge para a / (1 − r) quando |r| < 1. Diverge (torna-se infinita) quando |r| ≥ 1. Útil para decimais periódicos e multiplicadores econômicos.
Na filotaxia das plantas (semente de girassol, pinhas), nas taxas de reprodução animal (o problema original dos coelhos de Fibonacci), na análise de ondas financeiras e na estética da razão áurea.
Não diretamente aqui - essas são comuns, porém menos padronizadas. O avaliador de expressões personalizadas (Calculadora Científica) trata termos únicos; sequências precisam de sua própria ferramenta.
Uma expressão de forma fechada para o n-ésimo termo sem calcular os termos anteriores. Aritmética: aₙ = a + (n−1)d. Geométrica: aₙ = a·r^(n−1). A Fibonacci tem a fórmula de Binet, mas ela é irracional.
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